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HDU 5088 Revenge of NIM II

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HDU 5088

题目类型：高斯消元求解异或方程组

题目来源：BestCoder #16

题目分析

题目大意

Nim的复仇。

Nim博弈的规则，一个人可以从n堆石子中选任意一堆取走至少一个。现在，后手可以移走这n堆中的任意几堆，也可以不移走，要问后手是否能胜？

解析

要想后手胜，则需要使先手达到必败态，nim博弈的性质是，如果所有数的异或和为0，则先手必败，否则先手必胜。那么我们只需要保留一些堆，使这些堆异或为0即可保证先手必败，后手必胜。先看数据范围是10^12，也就是说，最多不会超过2^40次方，我们选取最长宽度也就是MAXN为40即可。当数据大于40时，也必然会有高斯消元之后全为0的行，所以当n>40时，直接认为可以后手赢。当n<40的时候要去算矩阵的秩是否小于未知量的个数，也就是说，自由未知量的个数是否大于0，如果大于零则可以保证能使行阶梯矩阵至少一行为0。

代码

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#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <deque>
#include <algorithm>
#define Memset(a,val) memset(a,val,sizeof(a))
#define PI acos(-1)
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define rt(n)       (i == n ? '\n' : ' ')
#define hi         printf("Hi----------\n")
#define IN freopen("input.txt","r",stdin);
#define OUT freopen("output.txt","w",stdout);
#define debug(x) cout<<"Debug : ---"<<x<<"---"<<endl;
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long ll;
const int MAXN=40+5;
const int mod=1000000007;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-8;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数
//返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss()
{
    int max_r,col,k;
    free_num = 0;
    for(k = 0, col = 0 ; k < equ && col < var ; k++, col++)
    {
        max_r = k;
        for(int i = k+1;i < equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
                max_r = i;
        }
        if(a[max_r][col] == 0)
        {
            k--;
            free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if(max_r != k)
        {
            for(int j = col; j < var+1; j++)
                swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        for(int i = k+1;i < equ;i++)
        {
            if(a[i][col] != 0)
            {
                for(int j = col;j < var+1;j++)
                    a[i][j] ^= a[k][j];
            }
        }
    }
    for(int i = k;i < equ;i++)//进入此循环的条件：本身矩阵行大于列 或者 因为出现自由变元后使得非自由变元数比行数小
        if(a[i][col] != 0)//若等号右边是1则无解，因为等号左边已经消为0
            return -1;//无解
    if(k < var) return var-k;//自由变元个数
    //唯一解，回代
    for(int i = var-1; i >= 0;i--)
    {
        x[i] = a[i][var];
        for(int j = i+1;j < var;j++)
            x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
    }
    return 0;
}
int main(){
    int t, n;
    ll tmp;
    scanf("%d",&t);
    while (t--) {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        scanf("%d",&n);
        if (n>40) {
            while (n--) {
                scanf("%*lld");
            }
            printf("Yes\n");
        }
        else
        {
            for (int i=0; i<n; i++) {
                scanf("%lld",&tmp);
                for (int j=0; j<MAXN; j++) {
                    if (tmp>>j&1) {
                        a[j][i]=1;
                    }
                }
            }
            equ = MAXN;
            var = n;
            if (Gauss()>0) {
                printf("Yes\n");
            }
            else
                printf("No\n");
        }
        
    }
}