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PKU Campus H Magical Balls

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C16H:Magical Balls

模拟 + 矩阵快速幂

题目分析

题目大意

给定一个小球的坐标，小球会进行复制，向上下左右分别复制u, d, l, r个，总数变为u+d+l+r+1个球。小球复制以m为周期，在一个周期内的每一秒对应不同的复制规则。问，经过n秒后，所有小球的横坐标之和与纵坐标之和的和，即(x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn)。数字非常大，需要对 1,000,000,007取模。

解析

手动模拟一下样例，不难得出规律。看n的数据范围，有1018大小，所以肯定不可能一秒一秒的去模拟，因为这个过程是周期变化的，所以想到矩阵快速幂不难。求出一个周期，即m秒的过程求出一个矩阵，然后再用这个矩阵不断的乘初始的状态，得到第m, 2m, 3m... n/m*m时刻的状态，再将这个情况乘以n%m时刻的变换矩阵，即可求出时刻n的x坐标之和以及y坐标之和。样例的数据比较水，需要多思考一下。

比较坑的点：

  • x,y 的数据范围较大，所以要将x,y处理一下x=(x%mod+mod)%mod
  • 矩阵相乘时要乘完取模然后再加再取模，即应当t.a[i][j]=(t.a[i][j]+(a[i][k]*b.a[k][j])%M)%M;。如果t.a[i][j]=(t.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%M;是会wa的
  • 加偏移量的时候，应当是球的数量乘偏移量，因为偏移量是对每一个球而言的。

代码

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#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <deque>
#include <algorithm>
#define Memset(a,val) memset(a,val,sizeof(a))
#define PI acos(-1)
#define rt(n)       (i == n ? '\n' : ' ')
#define hi         printf("Hi----------\n")
#define IN freopen("input.txt","r",stdin);
#define OUT freopen("output.txt","w",stdout);
#define debug(x) cout<<"Debug : ---"<<x<<"---"<<endl;
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
typedef long long ll;;
using namespace std;
const int maxn=100000+5;
const int mod=1000000007;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-8;
#define inf 9999
#define Vmax 1000005
#define Emax 4000005
typedef long long mytype;
const int SZ=3;
const long long M=1000000007;
long long quickpow(long long a, long long b)
{
    if(b < 0) return 0;
    long long ret = 1;
    a %= M;
    for (; b; b >>= 1, a = (a * a) % M)
        if (b & 1)
            ret = (ret * a) % M;
    return ret;
}
long long inv(long long a)
{
    return quickpow(a,M-2);
}
struct mat
{
    int n,m;
    mytype a[SZ][SZ];
    void init()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    mat(int n=SZ,int m=SZ):n(n),m(m) {}
    mat unit()
    {
        mat t(n,n);
        t.init();
        for (int i=0; i<n; i++)
            t.a[i][i]=1;
        return t;
    }
    mytype *operator [](int n)
    {
        return *(a+n);
    }
    mat operator +(const mat &b)
    {
        mat t(n,m);
        for (int i=0; i<n; i++)
            for (int j=0; j<m; j++)
                t.a[i][j]=(a[i][j]+b.a[i][j]+M)%M;
        return t;
    }
    mat operator -(const mat &b)
    {
        mat t(n,m);
        for (int i=0; i<n; i++)
            for (int j=0; j<m; j++)
                t.a[i][j]=(a[i][j]-b.a[i][j]+M)%M;
        return t;
    }
    mat operator *(const mat &b)
    {
        mat t(n,m);
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
            {
                t.a[i][j]=0;
                for(int k=0; k<m; k++)
                    t.a[i][j]=(t.a[i][j]+(a[i][k]*b.a[k][j])%M)%M;
            }
        return t;
    }
    mat operator *(const mytype &b)
    {
        mat t(n,m);
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                t.a[i][j]=a[i][j]*b%M;
        return t;
    }
    mat operator /(const mytype &b)
    {
        mat t(n,m);
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                t.a[i][j]=a[i][j]*inv(b)%M;
        return t;
    }
    mat operator !()
    {
        mat t(n,m);
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                t.a[i][j]=a[j][i];
        return t;
    }

    friend mat quickpow(mat a, mytype b)
    {
        if(b<0) return a.unit();
        mat ret=a.unit();
        for (; b; b>>=1,a=a*a)
            if (b&1)
                ret=ret*a;
        return ret;
    }
    void in()
    {
        for (int i=0; i<n; i++)
            for (int j=0; j<m; j++)
                scanf("%lld",&a[i][j]);
    }
    void out()
    {
        for (int i=0; i<n; i++)
            for (int j=0; j<m; j++)
                printf("%lld%c",a[i][j]," \n"[j==m-1]);
    }
};
mat mt[20005];

mat get(ll u, ll d, ll l, ll r){
    mat rt;
    ll A=(u+d+l+r)%mod;
    rt.a[0][0]=1+A;rt.a[0][1]=0;rt.a[0][2]=r-l;
    rt.a[1][0]=0;rt.a[1][1]=1+A;rt.a[1][2]=u-d;
    rt.a[2][0]=0;rt.a[2][1]=0;rt.a[2][2]=1+A;
    return rt;
}

int main(){
    mt[0]=mt[0].unit();
    int t;
    cin>>t;
    while (t--) {
        ll n,m,x,y,u,d,l,r;
        cin>>n>>m>>x>>y;
        mat ans(3,1);
        /*坑爹啊*/
        x=(x%mod+mod)%mod;
        y=(y%mod+mod)%mod;
        /*坑爹啊*/
        ans[0][0]=x;ans[1][0]=y;ans[2][0]=1;
        for (int i=1; i<=m; i++) {
            cin>>u>>d>>l>>r;
            mt[i]=get(u, d, l, r);
            mt[i]=mt[i]*mt[i-1];
        }
        ans=quickpow(mt[m],n/m)*ans;
        ans=mt[n%m]*ans;
        cout<<(ans[0][0]+ans[1][0]+mod)%mod<<endl;
    }
    return 0;
}